[振动控制] 拍振现象 (Beats Phenomenon)

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拍振现象指的是两个频率接近的力（激励源）产生的振动叠加在一起，由于频率接近，周期也接近，每过一个周期两个信号的相对相位就会有一点变化，接近同相的时候两个信号叠加，幅值变大；接近反相的时候两个信号相互抵消，幅值变小，造成波形总幅值的周期性波动。

这里有一些不错的介绍资料，一并列出：

[1] Beats：https://www.physicsbootcamp.org/beat-phenomenon.html

[2] 航天器火箭发射拍振现象

假定两组波，圆频率分别为ψ1和ψ2的两组波，表达式如下：

$${\psi }_1(0,t)=Acos({\omega }_{1}t)=Acos(2\pi f_{1}t)$$

$${\psi }_2(0,t)=Acos({\omega }_{2}t)=Acos(2\pi f_{2}t)$$

叠加后的波表达式如下

$$\psi ={\psi }_1+{\psi }_2=A[cos({\omega }_{1}t)+cos({\omega }_{2}t)]$$

根据三角恒等式（trigonometric identity），进一步转化为如下的形式

$$\psi =\{2Acos[(\frac{{\omega }_1–{\omega }_2}{2})t]\}cos[(\frac{{\omega }_1+{\omega }_2}{2})t]$$

进一步将频率写成均值${\omega }_0$与偏差$\mathrm{\Delta }\omega$的形式，如下

$${\omega }_1={\omega }_0–\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{2}$$

$${\omega }_2={\omega }_0+\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{2}$$

于是，可进一步将将叠加后的振动写成如下形式

$$\psi =\{2Acos(\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{2}t)\}cos({\omega }_{0}t)$$

上式是两个cos函数相乘，由于假定两个频率相差特别小，因此均值${\omega }_0$远大于偏差$\mathrm{\Delta }\omega$，于是第一项三角函数可以认为是第二项三角函数的一个幅度值，且是一个周期变化的幅度值，形成连续的波峰和波谷。

由于$cos(\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{2}t)$的波峰和波谷，均是对应极大值，因此拍的周期是$cos(\frac{\mathrm{\Delta }\omega }{2}t)$函数周期的一半：

$$T_{beat}=\frac{1}{2}(\frac{2\pi }{\mathrm{\Delta }\omega /2})=\frac{2\pi }{\mathrm{\Delta }\omega }=\frac{1}{|f1–f2|}$$

拍的频率则为两个频率之差：

$$f_{beat}=|f1–f2|$$

根据文献2的解释，拍振有以下特性，我们直接摘抄下来：

• 当频率比满足0.85≤ξ≤1.18，振幅比满足0.33≤β≤3，两个分振动可合成拍频振动，初始相位差对拍频振动并无实质性影响；

• 频率比影响合成振动振幅周期；
• 振幅比越小，振动的对比度越小，拍振现象越不明显。当振幅比为1时，拍振现象最明显。

我们这里不再进行细致的理论分析，我们通过编写实际案例来看一下效果。

例子1：A1=A2 =1,  f1=10Hz, f2 = 10.5Hz，频率比f2/f1= 1.05，振幅比1，根据上面的分析可知，可形成拍振，拍振周期是2s。

例子2：A1=A2 =1,  f1=10Hz, f2 = 11Hz，频率比f2/f1= 1.1，振幅比1，根据上面的分析可知，可形成拍振，拍振周期是1s。

例子3：A1=1, A2 =3,  f1=10Hz, f2 = 11Hz，频率比f2/f1= 1.1，振幅比3，根据上面的分析可知，可形成拍振，拍振周期是1s，同时与例子2比，拍振现象没例子2强。

例子4：A1=A2 =1,  f1=10Hz, f2 = 13Hz，频率比f2/f1= 1.3，振幅比1，按公式拍振周期是3.3s，但根据上面的分析可知，可知已无明显拍振现象。

Video 视频演示

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• 案例 ( Examples )

[00] [数学][地震动][软件] FOUR_TRAN: Fourier Analysis Tool [傅里叶分析工具]

[01] [数学][软件] FOUR_TRAN Example 1: Filtering [FOUR_TRAN傅里叶分析工具使用案例1: 滤波]

[02] [数学][软件] FOUR_TRAN Example 2: Square Wave Signal Decomposition [FOUR_TRAN傅里叶分析工具使用案例2: 方波信号分解]

[03] [数学][软件] FOUR_TRAN Example 3: Earthquake Ground Acceleration Frequency Spectrum Analysis [FOUR_TRAN傅里叶分析工具使用案例3: 地震波频谱分析]

[04] [数学][软件] FOUR_TRAN Example 4: Stock Periodicity and Volatility Analysis [FOUR_TRAN傅里叶分析工具 案例4: 股票周期性和波动性分析]

[05] [软件] FOUR_TRAN 案例5: 风振响应频谱分析 ( FOUR_TRAN Ex5: Wind induced vibration response spectrum analysis)

[06] [软件][振动控制] FOUR_TRAN 案例6: 钢楼梯实测振动数据频谱分析 (FOUR_TRAN Ex6: Frequency spectrum of measured vibration data of Steel stairs)

[07] [软件][振动控制] FOUR_TRAN 案例7: 钢楼梯实测振动数据(不同频率成分对加速度峰值的贡献) (FOUR_TRAN Ex7: Frequency spectrum of measured vibration data of Steel stairs)

[08] [振动控制] 拍振现象 (Beats Phenomenon)

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