[数学][笔记] 傅里叶变换公式的几种形式 (Several Forms of Fourier Transform Formulas)

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# 傅里叶变换公式的几种形式

研究振动控制、随机振动等，离不开傅里叶变换（Fourier transforms）。对于傅里叶变换，不同文献、书籍有时候会采用不同形式的公式，刚开始看的时候有点凌乱，后面才理清楚，其实不同公式形式本质上都是等价。为了便于后续学习，以下总结几种常见的傅里叶变换公式形式。PS.这里傅里叶变换，指的是非周期函数（周期可以理解为无限长）的傅里叶变换，不是傅里叶级数（Fourier series），傅里叶级数是针对周期函数的说法。

## 第一种形式

一种通用的形式，$\mathrm{\Phi }\left(p\right)$和$F\left(x\right)$互为傅里叶变换对：

$$\mathrm{\Phi }\left(p\right)\iff F\left(x\right)$$

$$\mathrm{\Phi }\left(w\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{–\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}F\left(t\right)e^{iwt}dt$$

$$F\left(t\right)={\int }_{–\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{\Phi }\left(w\right)e^{–iwt}dw$$

将上述中公式中的变量$x$替换为$t$，$p$替换为$f$，则变为物理中习惯的符号，其中$t$为时间（time），$f$为频率（frequency）。

$$\mathrm{\Phi }\left(f\right)\iff F\left(t\right)$$

$$\mathrm{\Phi }\left(f\right)={\int }_{–\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}F\left(t\right)e^{2\pi ift}dt$$

$$F\left(t\right)={\int }_{–\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{\Phi }\left(f\right)e^{–2\pi \mathrm{i}ft}df$$

由公式可见，$\mathrm{\Phi }\left(f\right)$和$F\left(t\right)$基本对称，除了自然对数指数上的负号，负号可放在$\mathrm{\Phi }\left(f\right)$，也可以放在$F\left(t\right)$，唯一的差别是，指数取正号和取负号求出的$\mathrm{\Phi }\left(f\right)$共轭。

## 第二种形式

在形式一的基础上，将频率 改为圆频率（angular frequency），即$w=2\pi f$，$df$改为$\frac{1}{2\pi }dw=df$，则公式变为

$$\mathrm{\Phi }\left(w\right)\iff F\left(t\right)$$

$$\mathrm{\Phi }\left(w\right)={\int }_{–\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}F\left(t\right)e^{iwt}dt$$

$$F\left(t\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{–\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{\Phi }\left(w\right)e^{–iwt}dw$$

这种形式通常在一些动力学及抗震书籍上出现，此时，在逆变换公式$F\left(t\right)$中多了个$\frac{1}{2\pi }$。

另外，这个$\frac{1}{2\pi }$也可以放在正变换一侧$\mathrm{\Phi }\left(w\right)$，则公式变为

$$\mathrm{\Phi }\left(w\right)\iff F\left(t\right)$$

$$\mathrm{\Phi }\left(w\right)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{–\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}F\left(t\right)e^{iwt}dt$$

$$F\left(t\right)={\int }_{–\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{\Phi }\left(w\right)e^{–iwt}dw$$

还可以将$\frac{1}{2\pi }$开根号，同时放到$\mathrm{\Phi }\left(w\right)$和$F\left(t\right)$中，保持正变换和逆变换公式的对称性，如下所示

$$\mathrm{\Phi }\left(w\right)\iff F\left(t\right)$$

$$\mathrm{\Phi }\left(w\right)=\sqrt{\frac{1}{2\pi }}{\int }_{–\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}F\left(t\right)e^{iwt}dt$$

$$F\left(t\right)=\sqrt{\frac{1}{2\pi }}{\int }_{–\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\mathrm{\Phi }\left(w\right)e^{–iwt}dw$$

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