[动力学][Chapter14] 地震作用下结构的能量分析 [Energy analysis of structures under earthquake]

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以下内容摘选自《结构地震反应分析——编程与软件应用》一书的 第14章，关于书本更多信息可查看链接：http://www.jdcui.com/?page_id=16529

在地震作用下，能量不断输入到结构体系中，其中一部分能量以动能和可恢复弹性应变能的形式存储，另一部分能量则被结构体系的阻尼和结构构件产生的非弹性变形耗散。当结构停止震动时，体系动能和可恢复弹性应变能归零，地震输入到结构体系的能量全部被结构体系的阻尼和结构构件产生的非弹性变形耗散。结构在地震作用下的反应过程，是地震输入能量在结构体系中以多种形式不断转化和耗散的过程。本章从能量平衡方程出发，给出各类耗能的定义，在此基础上给出逐步积分法时程分析时各类能量的求解方法，并给出具体的MATLAB编程代码。

14.1 能量平衡方程

在地震动持续过程中的任意时刻，结构体系储存和耗散的总能量等于地震动输入到结构体系中的能量^[1]，即

\[{E_{In}} = {E_k} + {E_s} + {E_d} + {E_p} (14.1‑1)\]

其中E_In表示地震输入的总能量，E_k表示体系的动能，E_s表示结构的可恢复弹性应变能，E_d表示结构阻尼耗能，E_p表示结构非弹性耗能。其中动能E_k和弹性应变能E_s是瞬时变量，阻尼耗能E_d和非弹性耗能E_p是累积的。

以下讨论上述公式中各项能量的计算公式。

14.1.1 单自由度体系能量平衡方程

水平地震作用下单自由度体系的地震动力方程：

以相对位移表示的动力方程：

\[m\ddot u\left( t \right) + c\dot u\left( t \right) + {f_s}\left( {u,\dot u} \right) = – m{\ddot u_g}\left( t \right) (14.1‑2)\]

以绝对位移表示的动力方程

\[m{\ddot u_a}\left( t \right) + c\dot u\left( t \right) + {f_s}\left( {u,\dot u} \right) = 0 (14.1‑3)\]

式中 \({\ddot u_a}\)是体系的绝对加速度，且有 \({\ddot u_a}\left( t \right) = {\ddot u_g}\left( t \right) + \ddot u\left( t \right)\)，即体系的绝对加速度等于相对加速度加上地面加速度。

根据公式(14.1‑4)及(14.1‑5)，可以分别得到基于相对位移定义的能量平衡方程及基于绝对位移表示的动力方程^[1]。

（1）以相对位移定义的能量平衡方程

对方程(14.1‑2)两端在地震动持时范围[0，t]积分，得到以相对位移定义的能量平衡方程。

\[\int_0^t {m\ddot udu} + \int_0^t {c\dot udu} + \int_0^t {{f_s}du} = – \int_0^t {m{{\ddot u}_g}du} (14.1‑4)\]

将\(du = \dot udt\)代入可得

\[\int_0^t {m\ddot u\dot udt} + \int_0^t {c\dot u\dot udt} + \int_0^t {{f_s}\dot udt} = – \int_0^t {m{{\ddot u}_g}\dot udt} (14.1‑5)\]

上式可简化为

\[{E_k} + {E_d} + {E_s} + {E_p} = {E_{In}} (14.1‑6)\]

其中

\({E_k}\)——结构在相对坐标系下的动能，有 \({E_k} = \int_0^t {m\ddot u\dot udt = \frac{{m{{\dot u}^2}}}{2}} \)；

\({E_d}\)——结构在相对坐标系下的阻尼耗能，有 \({E_d} = \int_0^t {c{{\dot u}^2}dt} \)；

\({E_s},{E_p}\)——结构在相对坐标系下的弹性应变能和非弹性变形耗能，有 \({E_s} + {E_p} = \int_0^t {{f_s}\dot udt} \)；

\({E_{In}}\)——地震动输入结构的能量，有\({E_{In}} = – \int_0^t {m{{\ddot u}_g}\dot udt} \)。

（2）以绝对位移定义的能量平衡方程

对方程(14.1‑3)两端在地震动持时范围[0，t]积分，得到以绝对位移定义的能量平衡方程。

\[\int_0^t {m{{\ddot u}_a}du} + \int_0^t {c\dot udu} + \int_0^t {{f_s}du} = 0 (14.1‑7)\]

将\(u = {u_a} – {u_g}\)代入上式可得

\[\int_0^t {m{{\ddot u}_a}{{\dot u}_a}dt} + \int_0^t {c\dot u\dot udt} + \int_0^t {{f_s}\dot udt} = \int_0^t {m{{\ddot u}_a}{{\dot u}_g}dt} (14.1‑8)\]

上式可简化为

\({E’_k} + {E_d} + {E_s} + {E_p} = {E’_{In}} (14.1‑9)\)

其中，\({E’_k}\)——结构在绝对坐标系下的动能，有\({E’_k} = \int_0^t {m{{\ddot u}_a}{{\dot u}_a}dt} = \frac{{m\dot u_a^2}}{2}\)， \({E’_{In}}\)——地震动输入结构的能量，有\({E_{In}} = \int_0^t {m{{\ddot u}_a}{{\dot u}_g}dt} \) 。

14.1.2 多自由度体系能量平衡方程

对于多自由度体系，由于能量是标量，因此只需将各自由度的能量项叠加即可，则相对坐标下多自由度体系的能量平衡方程为

\[\sum\limits_{i = 1}^n {{E_{ki}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{E_{di}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{E_{si}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{E_{pi}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{E_{Ini}}} (14.1‑10)\]

绝对坐标下多自由度体系的能量平衡方程为

\[\sum\limits_{i = 1}^n {{{E’}_{ki}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{{E’}_{di}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{{E’}_{si}}} + \sum\limits_{i = 1}^n {{{E’}_{pi}}} = \sum\limits_{i = 1}^n {{{E’}_{Ini}}} (14.1‑11)\]

式中n是体系自由度数量。

14.1.3 相对与绝对能量平衡方程

对比方程(14.1‑6)和方程(14.1‑9)，可知相对能量平衡方程与绝对能量平衡方程中的阻尼耗能、弹性应变能即非弹性变形耗能是相同的，两者中的动能、总输入能量是不同的。根据以下关系

\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\ddot u}_a} = \ddot u + {{\ddot u}_g}}\\
{{{\dot u}_a} = \dot u + {{\dot u}_g}}
\end{array}} \right. (14.1‑12)\]

可得相对坐标下和绝对坐标下的动能、地震动输入能量之间的关系^[1]如下

\[\left\{ \begin{array}{l}
{{E’}_{In}} – {E_{In}} = \frac{1}{2}m\dot u_g^2 – m\dot u{{\dot u}_g}\\
{{E’}_k} – {E_k} = \frac{1}{2}m\dot u_g^2 + m{{\dot u}_g}\dot u
\end{array} \right. (14.1‑13)\]

针对上式，当结构周期 \(T \to 0\)时，由于 \({\ddot u_a} \to {\ddot u_g}\)， \({u_a} \to {u_g}\)及 \(u \to 0\)，则有

\[\left\{ \begin{array}{l}
{E_{In}} \to 0\\
{{E’}_k} \to \frac{1}{2}m\dot u_g^2
\end{array} \right. (14.1‑14)\]

当结构周期 \(T \to 0\)时，由于\({\dot u_a} \to 0\)， \({\ddot u_a} \to 0\)及\(u \to – {u_g}\)，则有

\[\left\{ \begin{array}{l}
{E_{In}} \to \frac{1}{2}m\dot u_g^2\\
{{E’}_k} \to 0
\end{array} \right. (14.1‑15)\]

由此可以得到一个根据地震波最大速度值估计的地震输入能量上限值

\[{E_{In,\max }} = \frac{1}{2}m\dot u_{g,\max }^2 (14.1‑16)\]

14.1.4 逐步积分法中能量求解

当采用时域逐步积分法进行地震动力平衡分析求解时，根据上节公式，可得单自由度体系的动能、可恢复应变能、阻尼耗能、屈服耗能的求解公式如下：

\[{E_{k,i}} = \frac{{m\dot u_i^2}}{2} (14.1‑17)\]

\[{E_{s,i}} = \frac{{f_{s,i}^2}}{{2k}} (14.1‑18)\]

\[{E_{d,i}} = {E_{d,i – 1}} + \frac{1}{2}c({\dot u_i} + {\dot u_{i – 1}})({u_i} – {u_{i – 1}}) (14.1‑19)\]

\[{E_{p,i}} = {E_{r,i}} – {E_{s,i}} = {E_{r,i – 1}} + \frac{1}{2}({f_{s,i}} + {f_{s,i – 1}})({u_i} – {u_{i – 1}}) – {E_{s,i}} (14.1‑20)\]

其中E_R,i表示体系的可恢复应变能与屈服耗能之和，下标i表示积分步。

对于多自由度体系，上述公式表示为

\[{E_{k,i}} = \frac{1}{2}{\left\{ {{{\dot u}_i}} \right\}^T}\left[ M \right]\left\{ {{{\dot u}_i}} \right\} (14.1‑21)\]

\[{E_{Si}} = \frac{1}{2}{\left\{ {{f_{s,i}}} \right\}^T}{\left[ K \right]^{ – 1}}\left\{ {{f_{s,i}}} \right\} (14.1‑22)\]

\[{E_{d,i}} = {E_{d,i – 1}} + \frac{1}{2}{\left( {\left\{ {{{\dot u}_i}} \right\} + \left\{ {{{\dot u}_{i – 1}}} \right\}} \right)^T}\left[ C \right](\left\{ {{u_i}} \right\} – \left\{ {{u_{i – 1}}} \right\}) (14.1‑23)\]

\[{E_{p,i}} = {E_{r,i}} – {E_{s,i}} = {E_{r,i – 1}} + \frac{1}{2}{(\left\{ {{f_{s,i}}} \right\} + \left\{ {{f_{s,i – 1}}} \right\})^T}(\left\{ {{u_i}} \right\} – \left\{ {{u_{i – 1}}} \right\}) – {E_{s,i}} (14.1‑24)\]