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不考虑梁本身的伸长、弯曲等自身变形，单纯考虑水平放置的梁跨中发生挠度 的情况下，水平伸缩量Δ的大小。这其实是一个纯数学的推导，已经和物理无关了（PS. 题目说梁其实不对），其实说的是一根不可伸缩的直线，跨中发生挠度 ，变为两根直线后，水平伸缩量是多大。
其中 \(L\)为直线的总长度，\(\Delta \)为水平伸缩量的大小，\(X\)为直线发生倾斜变形后，水平投影长度的一半。
由总长不变，可得水平伸缩量
\(\Delta = L – 2X\)
同时 \(L\)、\(\Delta \) 及\(X\) 之间满足以下三角函数关系
\(2X = 2\sqrt {{{\left( {\frac{L}{2}} \right)}^2} – {\omega ^2}} \)
将上式代入第一个公式，可得
\(\begin{array}{l}
\Delta = L – 2X\\
= L – 2\sqrt {{{\left( {\frac{L}{2}} \right)}^2} – {\omega ^2}} \\
= L – 2\sqrt {{{\left( {\frac{L}{2}} \right)}^2}\left( {1 – {\omega ^2}{{\left( {\frac{2}{L}} \right)}^2}} \right)} \\
= L – L\sqrt {\left( {1 – {{\left( {\frac{{2\omega }}{L}} \right)}^2}} \right)}
\end{array}\)
根据泰勒公式 (Taylor formula)，可对函数\(\sqrt {1 – x} \)在 \(x{\rm{ = }}0\)处进行展开(即获得麦克劳林公式)，并取前两项，当\(x\)为微小量时，有
\(\sqrt {1 – x} \approx 1 – \frac{1}{2}x\)
于是可得，当 \(\frac{\omega }{L}\)是微小量时有
\(\sqrt {\left( {1 – {{\left( {\frac{{2\omega }}{L}} \right)}^2}} \right)} \approx 1 – \frac{1}{2}{\left( {\frac{{2\omega }}{L}} \right)^2}\)
则水平伸缩量变为
\(\begin{array}{l}
\Delta = L – L\sqrt {\left( {1 – {{\left( {\frac{{2\omega }}{L}} \right)}^2}} \right)} \\
\approx L – L\left( {1 – \frac{1}{2}{{\left( {\frac{{2\omega }}{L}} \right)}^2}} \right)\\
\approx 2\frac{{{\omega ^2}}}{L}
\end{array}\)
可见，水平缩短量\(\Delta \)约为\(\frac{{{\omega ^2}}}{L}\)的两倍，当\(\omega \)为微小量时，水平缩短量\(\Delta \)是比\(\omega \)更高阶的微小量。
虽然上面分析的不是一根实际的梁，但从上面的推导也可以发现，对于一些常规的几何非线性可忽略的梁，梁跨中下挠引起的端部水平位移其实是非常小的，大致为\(2\frac{{{\omega ^2}}}{L}\)这个量级。当然，如果计算精确的梁的水平位移，需要建立微分方程的方法来推导，或者开个大变形用FEM计算。
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有意思的问题。简单计算的话，截面形心轴所在轴线处的轴向位移为零，支座截面底部出现向外轴向位移，位移值大约为梁端转角乘以形心高度。
的确是
期待更新 我也遇到类似问题不会计算
一般情况这个水平变形是很小的，基本可忽略，如果要从计算上去算，那有限元分析得考虑大变形几何非线性。