[数学][编程][混沌] 虫口模型的数值模拟 [Numerical simulation of insect population model]

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1976 年 , 美国数学家梅 (May .R ) 在美国 《 自然 》 杂志上发表的题为 “ 具有复杂的动力学的简单模型 ” 文章中指出 , 在生态学中一些非常简单的确定性的数学模型却能产生看似随机的行为。如虫口模型：x_{n+ 1}= μx_n ( 1 -x _n )，其中 xn 是第n 年的虫口数，x_{n+ 1} 是第 n + 1 年的虫口数，x_n ∈ [0 , 1 ]，μ 为生殖增长率，取值范围为μ ∈ (0 , 4 )。固定参量 μ之后 , 取一个初值x₀代入 , 即可通过反复迭代，获得一系列的点x_i，其中每个 x _i (i = 1 , 2 , 3 ……)是一个轨道点，这样就得出一条轨道 。选择不同的参数 , 当迭代次数超过某个足够大的数 N 后 , 轨道会表现出一些奇特的行为 , 显示了虫口数随着时间推移的奇特变化情况 .

虫口模型实际为一个一维逻辑斯蒂映射Logistic map。（Link: Logistic模型）

虫口模型在混沌数学中是一个很经典的例子，它可以说明混沌可以从很简单的非线性方程中产生。

由于虫口模型就是一个简单的递推公式，可以非常简单的通过编程实现。

以下测试几个例子。

（1） μ= 0. 5，x₀分别取0.5、0.4及0.1可见，经过一定数量的迭代后，x_n趋于0，即种群趋于灭亡

（2） μ= 2，x₀分别取0.5、0.4及0.1可见，经过一定数量的迭代后，x_n趋向于稳定的值0.5，即虫口数最终趋于同一个状态。

（3）随着μ的增大，随着参数 μ的继续增大，例如 μ= 3 . 25 时系统状态就会进入周期 2 轨道,系统出现两个值 x ∗1 和 x ∗2 的交替状态，即虫口数在两种状态之间交替变化。

（4）如果进一步继续增加μ值，当 3 . 499 < μ ≤3 . 545 ,此时 x_n 在四个 值 上 依 次 跳 动.

( 5 )继续增大参加μ的值，系统状态倍周期演化最终进入混沌轨道。例如取 μ= 3.7，初 值 分 别 为 x₀₁= 0.5001 和 x₀₂=0.5002。x₀₁与 x₀₂只有很小的差别 , 但我们可以明显的看到 , 迭 代 后的两条轨道最终表现出显著的差异。

为了更全面的了解虫口方程演化过程，对μ及x₀取不同的值，绘制μ及x收敛值的分布图，即可得虫口模型的分岔图，如下：

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