[笔记][几何][Rhino] 抛物线与合理拱轴线 [Parabola and reasonable arch axis]

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根据结构力学的知识可知，抛物线为三铰拱（Three hinged arch）在承受满跨竖向均布荷载下的合理拱轴线，即 三铰拱 按抛物线布置，拱在满跨竖向均布荷载作用下，只受轴力，不受弯矩。基本简图如下图所示。

采用Rhino结合Grasshopper进行抛物线绘制。由于Grasshopper似乎没有直接进行抛物线绘制的电池(测试了interpolate似乎不对），所以抛物线需要通过计算方程的形式进行绘制。

抛物线的基本方程为 y=ax^2+bx+c，其中，a、b、c均为待定参数。通过3个点的坐标，可获得这三个参数。此外，过3点也可以绘制一条圆弧，顺带对比圆弧 arc 和抛物线 parabola的差异。

下图为采用Grasshopper进行圆弧及抛物线绘制的脚本，

通过拖拉Slider可以控制拱的跨度及高度，获得不同矢跨比的抛物线及圆弧的拱，下图为跨度/矢高 = 2.2857时圆弧及抛物线的对比，可以看出两个曲线的明显差异。

以下对比不同跨/高比下，圆弧及抛物线的差异

由图可见，跨高比越大，圆弧及抛物线的差异越小，当跨高比在5左右时，两者相差较小。

接下来，测算拱的受力，将跨高比为2.2857的一组圆弧及抛物线导入midas gen进行计算。

以下考虑3支座条件下（支座固接，支座铰接，三角拱：支座铰接及跨中铰接）抛物线拱的受力。由图可见，在承受满跨竖向均布荷载下，只有三角拱的弯矩为0，其他支座条件下，弯矩不为零。

从这个也可知，合理拱轴线是与支座条件相关的。（简直是废话。。。。。。）

此外顺便对比在承受满跨竖向均布荷载下，抛物线拱及圆弧拱的受力差异。由图可见，圆弧拱的弯矩远大于抛物线拱。

前面例子测试中提了，合理拱轴线与边界条件有关，其实合理拱轴线是在特定的荷载和边界条件下提出来的。抛物线作为合理拱轴线，主要是适用于三铰拱在满跨竖向均布荷载的条件下。如果三铰拱荷载不是满跨竖向均布荷载，那合理拱轴线就不是抛物线了。最经典的例子是如果荷载不是满跨竖向均布荷载，而是自重作用，那么三铰拱的合理拱轴线就是倒过来的悬链线了。

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