[Dynamics][动力学][抗震] 等效地震力与伪加速度反应谱 (Equivalent Static Lateral Seismic Force and Pseudo-Acceleration Spectrum)

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《建筑抗震设计规范》（GB50011-2010）中给出了采用振型分解反应谱法计算地震作用时的地震力计算公式： $F_{j i} = α_{j} γ_{j} X_{j i} G_{i}$ ，其中 $γ_{j} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} X_{j i} G_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{j i}^{2} G_{i}}$ ， $F_{j i}$ 为j振型i质点的水平地震作用标准值； $α_{j}$ 为相应于j振型自振周期的地震影响系数； $X_{j i}$ 为j振型i质点的水平相对位移； $γ_{j}$ 为振型的参与系数。以下根据结构动力学的相关理论，给出上述公式的一种推导。

1多自由度体系振型分解法 Mode Superposition Method

对于多质点体系，地震动力方程为：

$[M] {\ddot{u}} + [C] {\dot{u}} + [K] {u} = - [M] {{\ddot{u}}_{g}} 式（ 1 ）$

将 ${u}$ 按振型展开，即 ${u} = [ϕ] {q}$ ，进一步展开为：

${u} = [ϕ] {q} = {ϕ_{1}} q_{1} + {ϕ_{2}} q_{2} + {ϕ_{3}} q_{3} + \dots + {ϕ_{n}} q_{n}$

将式（1）两边同时乘 ${[ϕ]}^{T}$ ，得下式：

${[ϕ]}^{T} [M] [ϕ] {\ddot{q}} + {[ϕ]}^{T} [C] [ϕ] {\dot{q}} + {[ϕ]}^{T} [K] [ϕ] {q} = {[ϕ]}^{T} [M] {{\ddot{u}}_{g}} 式（ 2 ）$

根据振型正交性，并假定阻尼为经典阻尼，可知 ${[ϕ]}^{T} [M] [ϕ]$ 、 ${[ϕ]}^{T} [C] [ϕ]$ 、 ${[ϕ]}^{T} [K] [ϕ]$ 均为对角矩阵，其对角元素别为 $M_{n} = {ϕ_{n}}^{T} {[M]}_{n} {ϕ_{n}}$ 、 $C_{n} = {ϕ_{n}}^{T} {[C]}_{n} {ϕ_{n}}$ 及 $K_{n} = {ϕ_{n}}^{T} {[K]}_{n} {ϕ_{n}}$ ， $M_{n}$ ， $C_{n}$ ， $K_{n}$ 分别为振型质量，振型阻尼和振型刚度。

由公式（2），可以得到n个单自由度方程：

$M_{n} {\ddot{q}}_{n} + C_{n} {\dot{q}}_{n} + K_{n} q_{n} = - {ϕ_{n}}^{T} [M] {{\ddot{u}}_{g}} 式（ 3 ）$

两边同时除以 $M_{n}$ 可得：

${\ddot{q}}_{n} + \frac{C_{n}}{M_{n}} {\dot{q}}_{n} + \frac{K_{n}}{M_{n}} q_{n} = - \frac{{ϕ_{n}}^{T} [M]}{M_{n}} {{\ddot{u}}_{g}} = - γ_{n} {{\ddot{u}}_{g}} 式（ 4 ）$

其中 $γ_{n} = \frac{{ϕ_{n}}^{T} [M]}{M_{n}} = \frac{{ϕ_{n}}^{T} [M]}{{ϕ_{n}}^{T} {[M]}_{n} {ϕ_{n}}}$ ，即为振型参与系数，对应公式 $γ_{j} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} X_{j i} G_{i}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{j i}^{2} G_{i}}$ 。同时也可发现，公式（4）是单自由度施加 $γ_{j}$ 倍地震加速度的地震动力平衡方程。

2 等效地震力 Equivalent Static Lateral Seismic Force

结构受到的等效地震力可表示为结构刚度与侧向位移的乘积，即：

${F} = [K] {u} 式（ 5 ）$

根据振型分解，可对位移进行展开：

${F} = [K] {u} = [K] [ϕ] {q} = [K] \sum_{i = 1}^{n} {ϕ_{n}} q_{n} 式（ 6 ）$

其中，第n阶振型的地震力为：

${F}_{n} = [K] {ϕ}_{n} q_{n} 式（ 7 ）$

结构设计常关心的是最大响应，此时第n阶振型的最大的等效地震力可表示为：

${F}_{n, max} = [K] {ϕ}_{n} q_{n, m a x} 式（ 8 ）$

由式（3）可知， $q_{n, m a x} = γ_{n} u_{n, m a x}$ ， $u_{n, m a x}$ 为振型周期对应的相对位移谱值，此时：

${F}_{n, max} = [K] {ϕ}_{n} γ_{n} u_{n, m a x} 式（ 9 ）$

根据结构动力学相关理论，结构的伪加速度谱 $P S A (ω, ζ)$ 与相对位移谱 $S D (ω, ζ)$ 之间存在如下关系： $P S A (ω, ζ) = ω^{2} S D (ω, ζ)$ ；

根据振型分析的基本理论，结构的刚度矩阵可表示为： $[K] {ϕ}_{n} = ω_{n}^{2} [M] {ϕ}_{n}$ 。

将上述公式带入公式（9）可得：

${F}_{n, max} = ω_{n}^{2} [M] {ϕ}_{n} γ_{n} u_{n, m a x} = ω_{n}^{2} [M] {ϕ}_{n} γ_{n} \frac{P S A (ω_{n}, ζ)}{ω_{n}^{2}} = α_{n} γ_{n} [G] {ϕ}_{n} 式（ 10 ）$

式中， $g$ 为重力加速度， $[G] = [M] g$ 为结构重力矩阵， $α_{n} = \frac{P S A (ω_{n}, ζ)}{g}$ 。可发现，公式（10）与《抗规》中式（5.2.2-1）是相对应的，其中 $α_{n}$ 与规范定义的地震影响系数相对应的无量纲系数。这里暂且不讨论规范的反应谱是绝对加速度反应谱还是相对加速度反应谱，在小阻尼比的情况下，绝对加速度反应谱及相对加速度反应谱差异很小。若假定等效地震力为惯性力，也可以推导出类似的公式（10）的表达式，此时 $α_{n}$ 则是绝对加速度。