[结构][设计][规范] 关于结构倾覆力矩计算公式的另一种理解

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说到结构倾覆力矩，搞过设计的朋友可能最先会想到以下这个公式：

$M_{c} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{m} V_{i j} h_{i}$

该公式来源于《抗规》6.1.3条的条文说明，原条文其中， $M_{c}$ 为规定侧向力作用下结构底层的框架倾覆力矩， $V_{i j}$ 表示第i层第j根框架柱的计算地震力， $h_{i}$ 为结构第i层的层高，为框架i层的柱的根数，为结构的层数。若将该公式推广到通用的情况，不仅是计算底层的倾覆弯矩，而是用于计算特定楼层的倾覆弯矩，同时将层高放到第一层连加符号的外面，则可得到公式 $M_{j} = \sum_{i = j}^{n} V_{i} h_{i}$ ，其中， $V_{i}$ 表示结构第i层的楼层剪力， $h_{i}$ 为结构第i层的层高， $M_{j}$ 为结构第j层的倾覆弯矩，该公式指的是结构第j层的倾覆弯矩等于第j层及以上楼层的剪力与层高乘积的叠加。

最初看 $M_{j} = \sum_{i = j}^{n} V_{i} h_{i}$ 这个公式时，是及其不直观的，因为说到倾覆力矩，可能大多数人最开始想到的都是侧向力乘以力臂的方式，因为我们最初学力学的时候就是这样，力乘以力臂就形成弯矩。接下来我们不妨重新来推导一次这个很多人都推导过的公式，看怎么从侧向力乘以力臂一步步推导到剪力乘以层高。

如下图所示，以一个三层高的结构为例，各层层高分别为h1，h2，h3，各楼层的侧向力分别为F1，F2，F3，各层的楼层剪力分别为V1，V2，V3。，相应结构各层的倾覆弯矩分别为M1，M2，M3。

图1 倾覆力矩模型

根据力与力臂乘积为力矩及外力与剪力之间的关系，我们可以得以下推导：

(1）第3层的倾覆弯矩

$M_{3} = F_{3} \times h_{3} = V_{3} \times h_{3}$

（2）第2层的倾覆弯矩

$\begin{array}{l} M_{2} = F_{3} \times (h_{3} + h_{2}) + F_{2} \times h_{2} = (F_{3} + F_{2}) \times h_{2} + F_{3} \times h_{3} = V_{2} \times h_{2} + V_{3} \times h_{3} \end{array}$

（3）第1层的倾覆弯矩

$\begin{array}{l} M_{1} = F_{3} \times (h_{3} + h_{2} + h_{1}) + F_{2} \times (h_{2} + h_{1}) + F_{1} \times h_{1} \\ = (F_{3} + F_{2} + F_{1}) \times h_{1} + (F_{3} + {F_{2}}_{1}) \times h_{2} + F_{3} \times h_{3} = V_{1} \times h_{1} + V_{2} \times h_{2} + V_{3} \times h_{3} \end{array}$
当我们再把这三个公式简略的写一下：

$M_{3} = V_{3} \times h_{3}$

$M_{2} = V_{2} \times h_{2} + V_{3} \times h_{3}$

$M_{1} = V_{1} \times h_{1} + V_{2} \times h_{2} + V_{3} \times h_{3}$

这不就是一个弯矩线性叠加的计算公式，如下图红色的箭头的力矩逐层传递：

其实，图1结构的倾覆力矩是与以下图2结构的倾覆力矩是等效的。

图2 倾覆力矩等效模型

剪力与层高的乘积相当于在该楼层施加了一个弯矩 $M_{i}^{'} = V_{i} \times h_{i}$ 。其中 $M_{1}' = V_{1} \times h_{1}$ ， $M_{2}' = V_{2} \times h_{2}$ ， $M_{3}' = V_{3} \times h_{3}$ 。图2所示就是一个沿楼层逐层施加倾覆弯矩的形式，结构第j层的倾覆弯矩等于第j层及以上楼层施加的力矩 $M_{i}^{'}$ 的和，即：