[Dynamics][动力学] 振型向量归一是否对计算结果有影响?

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题目如题，结论肯定是没有影响的，因为振型向量本来就是不定的，振型元素之间只有相对关系，要求解振型向量元素的具体值，必须对振型向量进行标准化。简单说即先假定某个元素的值，然后才能求解出其余元素的值。

最近在研究舒适度，顺便把相关东西整理一下，正好还有小伙伴问，同时正好测试一下在网站上用LATEX写公式，看看是不是会专业点。

基本公式

结构的运动方程：

$[M] {\ddot{u}} + [C] {\dot{u}} + [K] {u} = {P} （公式 1 ）$

将位移向量 ${u}$ 用振型展开，

${u} = [ϕ] {q} = \sum_{n = 1}^{N} ({ϕ}_{n} \times q_{n}) （公式 2 ）$

其中，N为结构动力自由度的数量， ${ϕ}_{n}$ 为第n个振型， $q_{n}$ 为广义坐标，又称为振型坐标。

假定阻尼矩阵为经典阻尼，起利用振型的正交性，可获得N个解耦的单自由度运动方程：

${\ddot{q}}_{n} + 2 ς_{n} ω_{n} {\dot{q}}_{n} + ω_{n}^{2} q_{n} = \frac{{ϕ}_{n}^{T} {P}}{{ϕ}_{n}^{T} [M] {ϕ}_{n}}, (n = 1, 2, \dots, N) （公式 3 ）$

通过上公式3，可求解振型坐标 $q_{n}$ ，并带入公式2，即可获得结构的响应。

令 ${ϕ}_{n} = α {ψ}_{n}$ ，其中 ${ψ}_{n}$ 为归一后的振型向量， $α$ 为归一系数，或者说是一个比例系数。

将 ${ϕ}_{n} = α {ψ}_{n}$ 代入公式3：

${\ddot{q}}_{n} + 2 ς_{n} ω_{n} {\dot{q}}_{n} + ω_{n}^{2} q_{n} = \frac{{ϕ}_{n}^{T} {P}}{{ϕ}_{n}^{T} [M] {ϕ}_{n}} = \frac{{ψ}_{n}^{T} {P}}{α {ψ}_{n}^{T} [M] {ψ}_{n}}, (n = 1, 2, \dots, N) （公式 4 ）$

同理，位移向量 ${u}$ 也可以用振型展开为：

${u} = [ψ] {d} = \sum_{n = 1}^{N} ({ψ}_{n} \times d_{n}), (n = 1, 2, \dots, N) （公式 5 ）$

相应的N个解耦的单自由度运动方程为：

${\ddot{d}}_{n} + 2 ς_{n} ω_{n} {\dot{d}}_{n} + ω_{n}^{2} d_{n} = \frac{{ψ}_{n}^{T} {P}}{{ψ}_{n}^{T} [M] {ψ}_{n}}, (n = 1, 2, \dots, N) （公式 6 ）$

对比公式4级公式6可知：

$q_{n} = \frac{d_{n}}{α} （公式 7 ）$

结合公式7，公式2整理为：

${u} = \sum_{n = 1}^{N} ({ϕ}_{n} \times q_{n}) = \sum_{n = 1}^{N} (α {ψ}_{n} \times q_{n}) = \sum_{n = 1}^{N} (α {ψ}_{n} \times \frac{d_{n}}{α}) = \sum_{n = 1}^{N} ({ψ}_{n} \times d_{n})$