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《有限单元法：编程与软件应用》模态分析章节的内容节选：
模态分析是一种研究结构动力特性的方法，通过模态分析，可以得到结构各阶模态的频率和振型。在结构工程中，模态分析是进行结构动力分析和抗震设计的基础，风荷载计算时，也常常需要模态分析提供的周期参数。本章首先简要介绍模态分析的基本原理，然后以一个桁架结构和一个框架结构为例，介绍有限元法进行模态分析的编程过程及其在具体软件中的应用。
- 基本方程
根据结构动力学知识，体系无阻尼自由振动方程为
(10.1‑1)
其中 [M]和 [K]分别为结构的质量矩阵及刚度矩阵， 
和 
分别为结构的节点位移及节点加速度列阵，上式是一个常系数齐次线性微分方程组，其解的形式为
(10.1‑2)
其中 
与时间无关。将方程解(10.1‑2) 带入方程(10.1‑1)，可得
(10.1‑3)
上式是齐次线性代数方程组，其有非零解的条件是系数行列式等于零，即
(10.1‑4)
如果 [K] 和 [M]的阶数为n，则(10.1‑4)是 的n次方程，称作结构自由振动特征方程。 称为特征值。将特征值带入(10.1‑3)，可求得相应的 ，称为特征向量。第i个wi2 、
称为第i特征对。 wi即结构第i个固有频率， 即结构第i个振型。
- 求解方法
公式(10.1‑3)在数学上称为广义特征值问题，一般记作
(10.1‑5)
通常有两种方法求解方程。一是按求广义特征值问题的相应方法求解，例如广义雅克比法、子空间迭代法；二是先将上式变换为标准特征值问题，再按相应的方法求解。本例采用后者。
标准特征值问题的公式表示为
(10.1‑6)
对于(10.1‑5),若 [M]-1 存在，则公式变为
(10.1‑7)
即 
。
若 [K]-1存在，则公式变为
(10.1‑8)
即
。
求得特征值λ后，可带入方程(10.1‑6)求得相应的特征向量。
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